סדרות עתיות ושיטות חיזוי

מוטיבציה לחיזוי

למה אנו צריכים חיזוי?

רבים רוצים לדעת מה יקרה בעתיד כדי לקבל החלטות מושכלות. השאלות נעות בין יומיומיות לאסטרטגיות:

• מה יהיה מזג האוויר מחר?
• האם מחיר המניה יעלה?
• מתי תסתיים המגפה?
• כמה מלאי להזמין לחודש הבא?

האתגר שבחיזוי

היכולת לחזות תלויה באופי המערכת ובטווח הזמן:

• קל לחזות: אירועים מחזוריים או קצרי טווח (למשל: מחר יום שני, מחר תזרח השמש).
• קשה לחזות: אירועים כאוטיים או ארוכי טווח (למשל: מחיר הביטקוין בעוד שנה).

סדרה עתית: מושגי יסוד

1. התהליך הסטוכסטי (Stochastic Process)

הסדרה העתית אינה סתם אוסף מספרים, אלא משפחה של משתנים אקראיים המוגדרים על מרחב הסתברות משותף.

2. ריאליזציה (Realization)

הנתונים שאנו רואים בפועל (המספרים בקובץ) הם מימוש אחד בודד מתוך אינסוף אפשרויות של התהליך.

מטרות ניתוח סדרות עתיות

אנו מנתחים סדרות זמן כדי להשיג אחת או יותר מהמטרות הבאות:

1. תיאור (Description): הבנת הנתונים, זיהוי מגמות, עונתיות וחריגים.
2. ניבוי (Forecasting): הערכת ערכים עתידיים על סמך נתוני העבר.
3. הסבר (Explanation): הבנת הקשר בין סדרות (למשל: האם פרסום משפיע על מכירות?).
4. שליטה (Control): התערבות בתהליך כדי להגיע לתוצאה רצויה.

סוגי סדרות עתיות

לפי אינדקס הזמן

• זמן בדיד (Discrete): תצפיות נלקחות במרווחי זמן קבועים (יומי, חודשי). $T = \{0, 1, 2, \dots\}$. (בזה נתמקד בקורס).
• זמן רציף (Continuous): תצפיות נרשמות ברציפות (למשל: רישום סיסמוגרף). $T \in [0, \infty)$.

לפי אופי התהליך

• דטרמיניסטי: ניתן לחיזוי מושלם באמצעות נוסחה (למשל $X_t = 2t + 3$).
• סטוכסטי: כולל רכיב אקראי, לא ניתן לחיזוי מושלם.

כלים טכניים לניתוח

בקורס נשתמש בספריות `pandas` לטיפול בנתונים ו-`matplotlib` לציור גרפים.

טעינת נתונים (סדרה עתית)

שימוש בפונקציה read_csv עם הגדרת עמודת התאריך כאינדקס.

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# טעינת קובץ, הפיכת עמודה 0 לאינדקס זמן
s = pd.read_csv("data.csv", 
                index_col=0, 
                parse_dates=True).squeeze("columns")

# הצגה גרפית מהירה
s.plot()
plt.show()

גרף זמן מול היסטוגרמה

שני כלים בסיסיים להבנת הנתונים:

• Time Plot: ציר X הוא זמן. מראה את סדר הנתונים, מגמות ועונתיות.
• Histogram: מתעלמת מהסדר (הזמן). מראה את התפלגות הערכים (שכיחות).

גרף השהיה (Lag Plot)

גרף שמציג את הקשר בין תצפית בזמן $t$ לבין תצפית עתידית בזמן $t+k$ (לאחר השהיה של $k$).

• אם הנקודות מסתדרות על אלכסון $\nearrow$, יש קורלציה חיובית חזקה (אוטוקורלציה).
• אם הנקודות נראות כמו "ענן" מפוזר, אין תלות ליניארית בין הזמנים (רעש לבן).

מרכיבי הסדרה העתית

מקובל לפרק סדרה עתית לארבעה מרכיבים:

1. מגמה (Trend - $T_t$): כיוון כללי ארוך טווח (עלייה/ירידה).
2. עונתיות (Seasonality - $S_t$): דפוס שחוזר על עצמו במרווחי זמן קבועים וידועים (למשל: עלייה במכירות גלידה בקיץ). המחזור קטן משנה.
3. מחזוריות (Cycle - $C_t$): גלים ארוכי טווח שאינם קבועים (למשל: גאות ושפל כלכליים). המחזור גדול משנה.
4. רעש/שארית (Noise/Residual - $\varepsilon_t$): החלק האקראי שלא ניתן לחיזוי.

מודלים של פירוק (Decomposition)

כיצד המרכיבים משתלבים יחד ליצירת הסדרה הנצפית $Y_t$?

1. מודל חיבורי (Additive Model)

מתאים כאשר גודל התנודות העונתיות נשאר קבוע לאורך הזמן, ללא קשר לרמת המגמה.

2. מודל כפלי (Multiplicative Model)

מתאים כאשר התנודות העונתיות גדלות ככל שהמגמה עולה (העונתיות היא פרופורציונלית למגמה).

קורלציה (מתאם)

מקדם המתאם של פירסון ($R$)

מודד את עוצמת הקשר הליניארי בין שני משתנים. הערך נע בין $-1$ ל-$1$.

• $R=1$: קשר ליניארי חיובי מושלם.
• $R=0$: חוסר קשר ליניארי (אך ייתכן קשר לא ליניארי!).
• $R=-1$: קשר ליניארי שלילי מושלם.

אזהרות חשובות

1. קורלציה אינה סיבתיות (Correlation $\neq$ Causation): ייתכן ששתי סדרות מתנהגות דומה במקרה, או בגלל גורם שלישי משותף (Spurious Correlation). דוגמה מפורסמת: מתאם גבוה בין מספר סרטי ניקולס קייג' למספר הטביעות בבריכה.
2. רביעיית אנסקומב (Anscombe's Quartet): ארבעה קבוצות נתונים בעלות אותם מדדים סטטיסטיים (ממוצע, שונות, קורלציה) אך נראות שונה לחלוטין בגרף. מסקנה: תמיד ציירו את הנתונים!

מילון מושגים (Glossary)